저자: Ciamac Moallemi, Dan Robinson, Paradigm
편집자: Yangz, Techub News
소개
이번 글에서는 예측 시장에 맞춰진 새로운 자동 마켓 메이커(AMM)인 pm-AMM을 소개하겠습니다.
AMM과 시장 점수 규칙과 같은 이전 규칙은 원래 예측 시장에 유동성을 제공하기 위한 방법으로 고안되었습니다. 그들은 이제 대부분의 DEX 거래량을 지배하고 있습니다. 그러나 아이러니하게도 예측시장은 거래량이 급증하는 가운데 대부분 AMM이 아닌 오더북을 활용하고 있다.
이에 대한 가능한 이유 중 하나는 기존 AMM이 결과 토큰에 적합하지 않기 때문입니다(즉, 이벤트가 발생하면 토큰 가격은 $1이고, 이벤트가 발생하지 않으면 토큰 가격은 $0입니다). 결과적인 토큰 변동성은 이벤트의 현재 확률과 예상 시장 만료 시기에 따라 달라집니다. 즉, 자산 풀에서 제공되는 유동성이 일관되지 않습니다. 예측 시장이 만료되면 유동성 공급자(LP)는 본질적으로 모든 가치를 잃습니다.
이를 위해 우리는 AMM 연구의 오랜 질문, 즉 특정 유형의 자산에 대해 AMM을 최적화한다는 것이 무엇을 의미하는가를 해결하는 것을 목표로 이러한 고려 사항을 중심으로 최적화된 새로운 AMM을 제안합니다. 즉, 특정 자산(예: 옵션, 채권, 스테이블코인 또는 결과 토큰)에 대한 모델이 주어지면 우리가 적용하는 AMM에 어떤 영향을 미칩니까? 우리는 LVR(손실 및 재조정) 개념을 기반으로 이 질문에 대한 가능한 답을 제안합니다.
연구결과
우리는 가우시안 점수 역학(Gaussian Score Dynamics)이라고 부르는 일부 결과 토큰의 가격 변동에 대한 모델을 구축했습니다. 이 모델은 농구 경기의 점수 격차, 선거의 투표 격차 또는 일부 자산 가격과 같은 기본적인 무작위 추세가 특정 값을 초과할지 여부를 예측할 수 있는 예측 시장에 적합할 수 있습니다. 미래의 특정 만료 시간.
우리는 이 모델을 사용하여 이러한 토큰에 대한 새로운 고정 기반 AMM인 정적 pm-AMM 불변성을 파생합니다.
그 중 x는 AMM의 결과 토큰 보유량, y는 반대 및 보완 결과 토큰의 보유량, L은 전체 유동성 또는 비례 계수, ψ 및 Φ는 정규의 확률 밀도 함수 및 누적 분포 함수를 나타냅니다. 각각 분배.
위의 불변성은 LVR(손실 및 재조정)이라는 강력한 개념을 기반으로 하며, 이는 AMM이 LVR로 인해 손실을 입는 비율이 AMM의 형태와 가격 변동에 따라 달라지는 것으로 생각할 수 있습니다. AMM에서 거래되는 기본 자산.
해당 자산에 사용되는 경우 AMM의 LVR은 현재 가격에 관계없이 특정 순간의 포트폴리오 가치에 비례하므로 자산에 대한 균일한 AMM을 정의합니다. Milionis et al.은 가격이 기하학적 브라운 운동(GBM, 주식 및 암호화폐와 같은 일반 자산의 가격 변동에 널리 사용되는 모델)을 따르는 자산의 경우 Uniswap 및 Balancer와 같은 지속적인 기하학적 평균 시장 조성자가 유일한 통합 AMM이라고 주장합니다. 정적 pm-AMM은 결과 토큰에 대해 제안된 가우스 분수 동적 모델을 따르는 자산 동작을 위한 통합 AMM입니다.
정적 pm-AMM은 모든 가격에서 균일한 LVR(포트폴리오 가치의 일부)을 가지지만, 예측 시장 만료일이 다가올수록 LVR은 여전히 증가합니다. 이는 예측 시장이 만료 시점에 매우 변동성이 클 수 있기 때문입니다. AMM의 예상 LVR이 만료 전 남은 시간 동안 항상 일정하게 유지되도록 유동성을 줄이기 위해 pm-AMM을 조정하기 위해 만료 시간 Tt에 따라 달라지는 동적 pm-AMM 불변성을 유도합니다.
동적 pm-AMM 메커니즘은 유동성을 감소시켜 만기일이 다가올수록 LVR이 증가하는 것을 방지합니다. 실제 풀에서는 특히 비차익 거래 활동(및 그에 따른 수수료)도 시간이 지남에 따라 증가할 수 있으므로 이것이 반드시 바람직하지는 않습니다. 그러나 pm-AMM은 유동성 공급자가 예상 수수료와 차익거래 위험 할당 방법에 따라 유동성을 조정할 수 있는 프레임워크를 제공합니다.
이러한 AMM은 온체인 예측 시장에서 수동적 유동성을 안내하는 데 도움이 될 수 있습니다. 통합 AMM 및 관련 방법의 개념은 이러한 방법을 사용하여 스테이블코인, 채권, 옵션 또는 가격 변동이 기하학적 브라운 운동을 따르지 않는 다른 유형의 자산에 대해 AMM을 사용자 정의할 수 있는 DEX 설계자에게 더 광범위하게 적용될 수 있습니다. 기타 파생상품 .
그림 1은 정적 및 동적 pm-AMM의 불변 곡선을 보여주고 이를 다른 잘 알려진 불변 곡선, 즉 CPMM(Constant Product Market Maker) 및 LMSR(Logarithmic Market Scoring Rule)과 비교합니다. 동적 pm-AMM의 준비금 곡선은 시간이 지남에 따라 더 낮은 유동성을 제공합니다.
그림 2는 CPMM 및 LMSR과 비교하여 Uniswap v3 중앙 집중식 유동성 AMM에 정적 pm-AMM 불변성을 구현하는 경우 발생하는 "유동성 지문"을 보여줍니다. 가로 축은 상대 가격(x 토큰의 가격을 y 토큰의 가격으로 나눈 값)의 로그 척도에 해당하고, 세로 축은 해당 가격 수준에서 각 AMM의 유동성에 해당합니다. 이 두 가지 대안에 비해 pm-AMM은 상대 가격이 1일 때(확률은 50%, 즉 토큰 가격이 0.50과 같음) 더 많은 유동성을 집중시키는 반면, 극단적인 상대 가격(극도로 낮거나 매우 높음) 유동성 집중도가 낮습니다.
연구배경
예측 시장
예측 시장은 암호화폐 분야에서 점점 더 인기를 얻고 있는 애플리케이션입니다. 2024년 10월에만 폴리마켓의 거래량이 20억 달러를 넘어섰습니다. 그러나 암호화폐 예측 시장의 대부분의 유동성은 AMM이 아닌 주문장에서 제공됩니다. 비록 후자가 암호화폐에 대한 DEX 거래량의 대부분을 지배하지만.
가능한 이유 중 하나는 결과 토큰의 가격 행동이 일반 자산의 가격 행동과 다르기 때문에 이를 위해 설계된 AMM이 안정적으로 작동할 수 없다는 것입니다. 예를 들어, 누군가가 동전을 1001번 뒤집는 동전 던지기 게임에 대한 예측 시장을 상상해 보세요. 각 결과(앞면과 뒷면)는 두 개의 토큰 x와 y에 해당합니다. 결과적으로 뒷면보다 앞면이 더 많으면 x 토큰의 가치는 $1이고 뒷면이 앞면보다 많으면 x 토큰의 가치는 $0입니다. y 토큰의 경우 그 반대입니다.
결과적으로 생성되는 동전의 변동성은 남은 던지기 횟수와 현재 던지기 횟수에 따라 크게 달라집니다. 현재 상황이 가까워질수록, 남은 토스 횟수가 적어질수록 해당 코인의 변동성은 더욱 커집니다. 이는 지속적인 제품 시장 조성자 손실(아래 설명된 변동성에 따라 다름)이 시간이 지남에 따라 크게 달라진다는 것을 의미합니다.
그림 3은 가우스 분수 역학 하에서 토큰 가격과 남은 시간의 함수로 나타나는 토큰 가격 변동성을 보여줍니다.
많은 인기 있는 예측 시장은 이 동전 던지기 예시와 유사하며, 임의의 추세가 미래의 만기일에 0 이상으로 끝날지 0 이하로 끝날지에 베팅합니다. 예를 들어:
- 농구 경기 결과 예측 시장에서는 남은 경기 시간이 0이 되면 시장이 종료됩니다. 확률론적 움직임은 두 팀 간의 득점 차이입니다.
- 대선 결과에 대한 예측시장은 선거 당일 만료된다. 그 중 확률론적 움직임은 해당 후보자에게 투표하려는 유권자 수의 차이이다.
- 비트코인과 같은 자산의 가격이 미래의 특정 날짜에 특정 실행 가격보다 높을지 여부에 대한 예측 시장에서 무작위 추세는 현재 비트코인 가격에서 특정 실행 가격을 뺀 로그가 될 수 있습니다.
이 기사에서 정의한 결과 토큰의 가격 변경 모델, 즉 Gaussian Fractional Dynamic 모델은 이러한 예에서 영감을 얻었습니다. 모델은 예측된 시장 가격이 일부 기본 브라운 운동이 0 이상으로 끝날 확률과 일치한다고 가정합니다. 이 모델은 바이너리 옵션에 대한 Black-Scholes 모델과 유사합니다(바이너리 옵션은 자산 가격이 특정 행사 가격보다 높으면 고정된 달러 금액을 지불하고, 자산 가격이 특정 행사 가격보다 높으면 고정된 달러 금액을 지불하는 상품입니다). 자산이 특정 행사 가격보다 낮을 경우) $0를 지불합니다. 그러나 우리 모델에서는 기본 프로세스가 거래 가능한 자산의 가격과 일치할 필요가 없습니다.
우리는 결과 토큰의 가격이 1달러일 확률과 일치한다는 간단한 가정을 합니다. 이 가정은 위험 및 시간 선호를 포함한 시장의 중요한 특성을 무시하므로 이러한 특성이 이 모델에 어떤 영향을 미치는지 조사하는 것이 향후 연구 주제가 될 것입니다.
또한, 모든 예측 시장이 가우스 분수 동적 모델에 적합한 것은 아니라는 점도 알아야 합니다. 왜냐하면 이 모델은 새로운 정보가 나타나는 속도가 예측 가능하다고 가정하기 때문입니다. 예를 들어, 농구 경기는 훨씬 더 자주 득점되고 그에 따라 점수 차이가 시간이 지남에 따라 더 일관되게 변하기 때문에 축구 경기보다 농구 경기가 이 모델에 더 적합할 수 있습니다. 또한 특정 날짜까지 일회성 예상치 못한 사건(지진 등)이 발생할지 여부를 예측하는 등 일부 유형의 예측 시장은 이 모델과 완전히 다릅니다. 그러나 이 모델은 다른 역학에 대한 모델을 도출하는 데 유용한 출발점이 될 수 있으며 모든 모델에 대한 통합 AMM을 도출하는 방법을 시연하는 역할을 할 수 있습니다.
손실 대 재조정 및 균일성
이 모델을 명확히 한 후, 우리는 지속적인 제품 마켓 메이커나 LMSR과 같은 기존 AMM보다 이러한 토큰에 더 적합할 수 있는 메커니즘을 도출했습니다. 우리가 사용하는 지침 지표는 손실 대 재조정 또는 LVR로 특징지어질 수 있는 유동성 공급자의 예상 손실률입니다.
LVR은 AMM의 주요 역선택 비용을 포착합니다. 거래가 없는 경우 AMM 가격은 고정되어 있으며 새로운 정보가 제공되면 진부해집니다. LVR은 AMM에게 불리한 가격으로 차익거래를 하는 박식한 차익거래자들이 이러한 오래된 가격을 악용하기 때문에 AMM 유동성 공급자에게 발생하는 비용을 반영합니다. 따라서 LVR은 AMM이 가격 수정을 위해 차익거래자에게 지불하는 수수료로 생각할 수 있습니다.
또한, 거래 수수료가 없는 LVR은 풀 준비금의 일부와 정확히 동일한 수의 토큰에 대해 개별적으로 숏 포지션을 보유함으로써 유동성 공급자 델타가 LP 포지션을 헤징함으로써 발생하는 손실이기도 합니다. 따라서 LVR은 Black-Scholes 옵션 가격 책정 모델의 주요 통찰력을 기반으로 합니다. 옵션이 기초 자산과의 델타 헤징을 통해 시장 위험을 제거하는 것처럼 LVR은 시장 위험을 제거한 후 AMM의 LP 포지션을 평가합니다. 즉, LVR은 단순히 AMM의 보유액과 동일한 토큰을 보유하는 시장 위험을 감수하는 것이 아니라 AMM의 유동성 공급자라는 특수성을 분리합니다.
우리는 수수료나 MEV 재활용 메커니즘이 없는 단순한 불변 기반 AMM을 고려합니다. 이 경우 AMM은 차익거래로 인해 분명히 돈을 잃을 것이며 어떤 AMM 불변도 LVR을 제거할 수 없습니다(전혀 거래가 발생하지 않는 불변은 제외). 게다가 LVR을 "최소화"하는 것조차 실질적인 의미가 없습니다. LVR을 줄이는 것은 단지 제공되는 유동성을 줄이는 것을 의미하기 때문입니다.
그러나 LVR을 제거할 수는 없지만 손실된 풀 가치의 비율이 자산의 현재 가격에 의존하지 않도록 LVR을 보다 균일하게 만들 수 있습니다. 우리는 이것을 특성 균일성이라고 부릅니다.
시장이 결과로 무엇을 예측하는지 알아보기 위해 수수료 없는 예측 시장에 유동성을 기꺼이 제공하려는 스폰서를 상상해 보십시오. 스폰서는 돈을 잃을 것이지만, 특정 시간이나 특정 가격에 손실을 집중시키기보다는 손실을 고르게 분산시키는 것을 선호할 것입니다. 이 경우 자산 풀의 현재 포트폴리오 가치는 스폰서의 "예산"으로 간주될 수 있습니다. 통합 AMM에서는 스폰서가 특정 시점에 1달러의 유동성을 투자하는 경우 다음 시점의 예상 손실은 풀의 현재 상태와 아무런 관련이 없습니다.
또한 균일성은 이익을 추구하는 유동성 공급자에게 잠재적인 영향을 미칩니다. AMM이 손실 및 재조정으로 인한 이익의 일부를 포착하거나 심지어 이익을 낼 수 있더라도(제로가 아닌 스왑 수수료 또는 MEV 세금과 같은 경매 메커니즘을 통해), 여전히 방법을 결정하기 위한 몇 가지 전략이 필요합니다. 흐름을 다른 가격과 다른 시간에 할당합니다. 수수료 없는 풀의 예상 손실은 자산의 가격 과정을 고려하여 주어진 시간에 전략이 얼마나 많은 유동성을 할당하는지를 측정하는 척도로 생각할 수 있습니다.
우리는 자산의 현재 가격에 관계없이 예상 LVR이 자산 풀의 현재 가치의 일정한 부분인 자산별 통합 AMM을 정의합니다. AMM이 균일한 LVR을 가지고 있는지 여부는 자산 자체의 가격 프로세스에 따라 달라집니다. Milionis et al.의 부록 B.2에 표시된 것처럼 자산 가격이 기하 브라운 운동을 따르는 경우 자산과 포지션 간의 본질적으로 유일하게 통합된 AMM은 가중 기하 평균 시장 조성자이며 그 불변성은 다음과 같습니다.
이는 Balancer에서 사용되는 공식이며, Uniswap v2에서 사용되는 지속적인 제품 마켓 메이커도 특별한 경우입니다. 그러나 가우스 분수 역학을 따르는 토큰의 경우 일정한 기하 평균 AMM에는 균일한 LVR이 없습니다. LMSR(대수 시장 점수 규칙)도 마찬가지입니다.
그림 4는 정적 pm-AMM의 균일한 LVR과 비교하여 시간 Tt=1에서 가우스 분수 동적 결과 토큰에 대한 CPMM 및 LMSR의 LVR을 보여줍니다.
이러한 고려 사항 중에서 우리는 Gaussian Fractional Dynamics 하에서 예측 시장을 위해 설계된 두 개의 AMM을 개발했습니다. 하나는 주어진 시간에 균일한 LVR을 갖지만 예측 시장 만료 날짜가 가까워지면 LVR은 증가하고 다른 하나는 균일한 LVR을 갖게 됩니다. 남은 기간 동안 일정한 예상 LVR이 유지됩니다.
그림 4에서 볼 수 있듯이, 결과적인 토큰 가격이 0 또는 1에 가까운 극단적인 경우에는 CPMM과 LMSR의 LVR이 더 커집니다. 이는 이 지점 주변에서 가격 변동성이 더 낮지만(그림 3 참조) 극단적인 가격에서는 자산 풀의 가치가 더 빨리 하락하기 때문입니다. 따라서 통합 AMM은 극단적인 가격에서 더 적은 유동성을 제공해야 하며, 이것이 바로 pm-AMM 설계가 수행하는 기능입니다(그림 2 참조).
이전 연구
AMM은 예측 시장과 시장 채점 규칙(예: LMSR)에서 유래되었습니다. 이러한 규칙으로 인해 Uniswap v2와 같은 CFMM(Constant Function Market Maker)이 발견되었습니다. CFMM은 각 자산에 대한 AMM 준비금 간의 불변 관계를 특징으로 하는 경우가 많습니다. 이 설계를 기반으로 한 AMM은 최근 몇 년 동안 DEX의 주류 시장 메커니즘이 되었습니다.
최근에는 주로 기하학적 브라운 운동에 초점을 맞춰 손실 및 재조정(LVR) 형태로 자동화된 시장 조성자의 비용을 이해하기 위해 금융 경제학 관점이 적용되었습니다. 반면, 예측 시장의 가격 역학은 수익이 제한적이고 기간이 제한되어 있기 때문에 매우 다릅니다. Taleb은 기본 관찰 가능한 투표 프로세스를 기반으로 한 역학을 제안한 반면, 우리는 기본 관찰 가능한 가우스 분수 프로세스를 기반으로 또 다른 역학을 개발했습니다.
GBM이 아닌 자산에 대한 자동화된 마켓 메이커 설계에 대한 이전의 일부 응용 연구가 있었습니다. 한 가지 예는 관련 자산과 평균 복귀 자산 사이의 자동화된 시장 조성자가 유동성을 하나의 가격으로 긴밀하게 집중해야 한다는 직관적인 전제를 기반으로 하는 스테이블 코인 쌍용으로 설계된 AMM인 StableSwap입니다. 그러나 파생에는 자산 가격 프로세스 모델링이 포함되지 않습니다. 또 다른 예는 제로 쿠폰 채권을 위해 설계된 AMM인 YieldSpace입니다. YieldSpace의 파생에는 단순한 제로 쿠폰 채권 가격 책정 모델이 포함되지만 가격 프로세스의 전체 모델은 포함되지 않습니다(이자율의 변화는 모델링되지 않음).
또한 학계에서는 자산 가격 행동에 대한 믿음을 중심으로 실시간 시장 모델을 설계하는 작업이 일부 있습니다. 한 가지 예는 Goyal et al.의 디자인입니다. 그들의 프레임워크는 예상 손실을 조정하는 것이 아니라 예상 활성 유동성을 최대화하도록 설계되어 때로는 우리와 반대되는 결과를 초래합니다. 예를 들어, 파생 결과에 따르면 유동성 공급자가 자산의 상대 가격이 1 정도로 유지될 것으로 예상하는 경우 LMSR(CPMM에 비해 가격 1에 유동성을 집중시키는 것)이 적합하다는 것을 알 수 있지만, 가격 차이가 예상되는 경우에는 LMSR이 적합합니다. (결과 토큰의 경우처럼) 유동성을 1 주위에 집중시키는 것이 합리적입니다.
다양한 AMM 모델
자동화된 시장 조성자
단일 이벤트에 대한 예측 시장과 두 개의 경쟁 자산을 거래하는 AMM을 고려할 수 있습니다. 위험자산 중 하나는 다음과 같습니다. AMM은 불변 f(x,y)=L을 유지합니다. 여기서 f(⋅,⋅)는 예비금(x,y)의 불변 함수이고 L은 상수입니다. 자산 x의 가격 P(미국 달러)가 주어지면 자산 풀의 가치 함수는 다음과 같습니다.
이는 x의 가격이 P일 때 자산 풀의 가치입니다. x와 y 자산 한 단위를 각각 보유하는 것은 현금을 보유하는 것과 동일하므로 y의 가격을 1-P로 두어야 합니다. 매 시간 t에서 자산 x의 가격 Pt(및 자산 y의 가격 1-Pt)를 관찰할 수 있는 차익거래자 그룹이 있다고 가정합니다. 거래 수수료나 기타 마찰이 없다고 가정하면 이러한 차익거래자는 AMM을 지속적으로 모니터링하고 AMM의 잘못된 가격 책정에서 가치를 추출하려고 노력할 것입니다. 그들은 자신의 이익을 극대화하기 위해 AMM과 거래하여 AMM 보유량의 가치를 최소화합니다. Vt를 사용하여 시간 t(가격이 Pt인 경우)의 예비 가치를 나타내면 Vt = V(Pt)입니다.
예시 1: CPMM(Constant Product Market Maker)의 경우 불변량은 f(x,y)≜xy이고 자산 풀 가치 함수는 다음과 같습니다.
예시 2: Robin Hanson이 만든 LMSR(Logarithmic Market Rating Rule)은 다음 불변성을 만족하는 AMM으로 볼 수 있습니다.
자산 풀 가치 함수는 다음과 같습니다(가격이 암시하는 이벤트의 이진 엔트로피에 비례).
최적화 문제 (1)의 최적해를 1로 나타내되, 현재 환경에 대해서는 다음과 같습니다.
정리 1. 모든 가격 P≥0에 대해 자산 풀의 가치 함수는 다음을 충족합니다.
가우스 분수 역학
가우시안 분수 역학(Gaussian Fractional Dynamics)을 기반으로 위험 자산 가격은 시간이 지남에 따라 어떻게 변화합니까? 구체적으로, 시간 간격 t∈[0,T]에 확률론적 프로세스 {Zt}가 존재한다고 가정합니다. 여기서 이벤트는 시간 범위 t=T의 끝에서 Zt의 부호에 의해 결정됩니다. ZT≥0인 경우 , x 자산 환급, ZT<0이면 y 자산이 환급됩니다. 우리는 Zt를 양자 경쟁에서 두 팀 간의 점수 차이로 이해할 수 있습니다. 따라서 우리는 Zt를 채점 과정으로 간주할 것입니다. 우리 모델은 이러한 분수 프로세스가 존재한다고 가정하지만 AMM에서는 이러한 프로세스를 직접 관찰할 필요가 없습니다. 아래 설명과 같이 AMM은 한계 가격(차익거래 후)과 만료 시간을 기반으로 분수의 현재 가치를 추론할 수 있습니다.
우리는 Zt가 무작위 변화를 따른다고 가정합니다. 구체적으로, Zt는 변동성이 σ>0인 브라운 운동, 즉 dZt=σdBt라고 가정합니다. 여기서 Bt는 표준 브라운 운동입니다. 그러면 시간 t에서 자산 x의 가격 Pt가 다음과 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.
그 중 Φ(⋅)는 표준정규누적분포함수(CDF)이다. Itô의 정리를 적용하면 Pt는 다음을 충족해야 합니다.
그 중 ф(⋅)는 표준정규확률밀도함수이고, Φ-1(⋅)은 역 CDF이다. 분수의 역학과 분수에서 가격으로 또는 그 반대로의 변환은 σ에 의존하는 반면, 고립된 가격 프로세스 Pt의 역학은 σ에 의존하지 않는다는 점에 유의하십시오. 가격과 남은 시간에 따른 이러한 동적 변동은 그림 3에 나와 있습니다.
통합 AMM
위의 논의에 따르면 Vt를 사용하여 시점 t(이 시점의 가격은 Pt)의 자산 풀 준비금 가치를 나타내면 Vt=V(Pt)입니다. Itô의 정리를 적용하면 자산 풀 가치가 다음 공식에 따라 변한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
가격 Pt가 마틴게일이므로 (2)의 두 번째 항도 마틴게일이며 이는 증가하거나 감소할 수 있습니다. 그러나 V(⋅)(정리 1 참조)에 따르면 첫 번째 항은 음의 변환에 해당하므로 감소 과정입니다. 이는 Milionis et al.이 제안한 손실 및 재조정 프로세스로, 불리한 가격으로 자산 풀에 대해 헤징하는 차익거래자가 손실한 가치를 포착합니다. 우리는 이 손실의 순간 속도를 다음과 같이 정의합니다.
Milionis et al.은 기하 브라운 운동을 따르는 자산의 경우 본질적으로 기하 평균 시장 조성자만이 통합 AMM임을 발견했습니다. 가우스 분수 역학을 적용한 예측 시장에서 (3)을 검토하려면 통합 LVR 풀이 다음 ODE(상미분 방정식)를 풀어야 합니다.
방정식의 왼쪽은 t에 의존하지만 오른쪽은 그렇지 않기 때문에 이는 불가능합니다. 여기서 핵심 문제는 기하학적 브라운 운동의 동역학이 시간에 따라 변하지 않는 반면, 가우스 분수 운동의 동역학은 시간 의존성이 크다는 것입니다.
이 문제를 피하기 위해 α가 시간과 관련되도록 허용합니다. 즉, β>0인 경우 α=β/(Tt)를 설정할 수 있으며 다음과 같은 설정을 고려할 수 있습니다.
이는 P≥0에 대한 ODE와 동일합니다. 또한 V(⋅)에는 V′′(P)≤0과 같은 몇 가지 추가 요구 사항이 있습니다(정리 1 참조).
정적 pm-AMM
위의 ODE는 변수 u=Φ-1(P)를 변경하여 단순화할 수 있습니다. β=1/2일 때 ODE와 추가 오목성 요구 사항을 모두 만족하는 해가 있으며 그 값은 다음과 같습니다.
x 및 y 토큰의 보유량은 다음과 같습니다.
여기서 L≥0은 자본풀 규모의 규모를 결정하는 유동성 매개변수이다. y*(P)-x*(P)=LΦ-1(P)를 관찰하고 이를 (5)에 대입하면 펀드 풀 준비금(x, y)는 불변성을 충족해야 합니다.
이것이 정적 pm-AMM의 정의입니다. 설계에 따르면 AMM은 다음 관계를 만족합니다.
Vˉt=E[Vt]를 예상 풀 값으로 정의합니다. (2)에서 파생될 수 있습니다.
이 상미분 방정식을 풀면 다음 답이 나옵니다. 즉, 예상되는 조건에서 정적 pm-AMM의 자산 풀 가치는 남은 기간의 제곱근에 따라 감소합니다.
동적 pm-AMM
정적 pm-AMM의 한 가지 단점은 달러당 LVR 값이 모든 가능한 가격에서 균일하지만 시간이 지남에 따라 변한다는 것입니다. 특히 가치 1달러당 손실은 만료 시간에 반비례하므로 만료 시 모든 가치가 손실될 때까지 시간이 지남에 따라 증가합니다.
동적 유동성. 우리는 AMM LP가 손실을 줄이기 위해 시간이 지남에 따라 유동성을 추출하는 정적 pm-AMM 설계의 동적 시간 변형을 구상합니다. 구체적으로 자본 풀 가치가 다음과 같다고 가정합니다.
여기서 Lt는 시간이 지남에 따라 유동성이 제거되는(또는 잠재적으로 추가되는) 정도를 결정하는 결정론적 평활 함수입니다. 자산 풀 가치 프로세스 Vt≜V(Pt,t)에 Itô의 정리를 적용하면
Ct는 인출된 유동성의 누적 달러 가치를 나타냅니다. 풀 가치는 유동성 Lt와 선형적으로 관련되어 있으므로 Lt 변화의 달러 가치는 Vt/LT에 정비례합니다. 우리는 다음을 얻을 수 있습니다:
AMM LP의 총 자산 Wt는 펀드 풀의 예비 가치와 인출된 유동성의 누적 가치로 구성되므로 Wt=Vt+Ct이며 다음을 충족합니다.
이는 LP의 기대 부 Wˉt≜E[Wt]가 Vˉt≜E[VT]인 다음 조건을 만족한다는 것을 의미합니다.
이제 다음과 같이 유동성 곡선에 대한 특정 옵션을 고려하십시오.
우리는 이를 동적 pm-AMM이라고 부릅니다. (7)에 따르면 예상 자산 풀 값 Vˉt=E[Vt]는 다음을 충족합니다.
이 상미분 방정식을 풀면 다음 답이 나옵니다.
즉, 동적 pm-AMM에서는 인출 후 예상 풀 값이 선형적으로 감소합니다. 또한, 정적 pm-AMM의 가치함수를 상속받았기 때문에 단위 시간당 LVR 손실률은 다음과 같습니다.
예상 손실률은 다음 값이며 기간 t 동안 일정하게 유지됩니다. 즉, 동적 pm-AMM은 시간이 지남에 따라 일정한 비율(기대)로 차익거래자의 돈을 잃습니다.
마지막으로 (8)에 따르면 기대부화과정은 아래 그림과 같이 구해진다. 따라서 초기 재산의 절반이 결국 손실됩니다.
결론적으로
pm-AMM은 가우스 분수 동적 모델과 같은 역학에 의해 주도되는 예측 시장에 적합할 수 있습니다. 이 외에도 우리 연구에 따르면 통합 AMM은 채권, 옵션 및 기타 파생상품과 같은 다른 유형의 자산에도 적합할 수 있습니다.
