一文了解 Lookup Arguments

Sin7Y ｜2022-12-19 17:30

本文将重点介绍使得OlaVM获得高性能的工具之一，Lookup argument。

TL;DR

在上一篇文章Hello, OlaVM!中提到，OlaVM的愿景是建立一个高性能的ZKVM，本文将重点介绍使得OlaVM获得高性能的工具之一，Lookup argument。Lookup argument对缩减电路规模，以提高ZK效率有很重要的作用，在ZKVM的电路设计中被广泛应用，通过本篇文章你可以了解到：

1.Lookup argument在ZKVM中将发挥着怎样的作用？

2.Plookup协议原理。

3.Halo2的Lookup argument协议原理。

4.两个Lookup argument算法之间的联系。

The roles in ZKVM

所谓的ZKVM，其实就是用ZK约束VM所有的执行过程，VM的执行过程一般可以分为：指令执行，内存访问，内置函数执行等。在一个trace里执行对这些操作的约束看起来有点不切实际，首先，不同操作类型的约束对应不同的trace的宽度，如果其中一个约束对应的trace宽度特别大，就会造成其余约束对应trace的浪费；然后，一个trace里有太多不同的操作类型，就会引入更多的selector，不仅会增加多项式的个数，而且还会增加约束的阶；最后，由于群的阶限制，trace的行数不能超过这个群的阶，因此，应该尽量减少某种类型的操作所占用的trace行数。

因此，为了简单，我们需要：

a.把不同的操作类型分成多个子trace，然后分别证明，主trace和子trace之间需要通过Lookup argument来保证数据的一致性。

b.对于一些ZK-unfriendly计算，我们可以通过Lookup argument技术来缩减trace的规模，比如位运算等。

当然，也有其他的一些技术手段来减少trace规模，我们将在后面的文章中给予说明。

Lookup between trace tables

VM所有的执行过程会组成一个完整的trace，称为主trace，这里的完整是包含VM执行的所有状态，不会涉及到辅助状态，比如，方便ZK验证的一些扩展信息等；如前面所述，在主trace里面包含这种辅助信息，会使得主trace变得复杂，难于约束。因此，为了约束方便，通常会建立一些子trace，然后分别针对这些子trace进行约束，而主trace主要用来进行执行正确的程序约束和Context约束。

一文了解 Lookup Arguments

图片1. Lookup between traces

通过建立不同的子trace，我们把VM执行的不同操作进行划分，通过Lookup argument技术来保证了子trace的数据源于主trace。对于子trace里的数据有效性证明，需要根据具体的操作类型，生成不同的trace，然后用对应的约束去证明trace的有效性；特别是对于bitwise，rangcheck等zk-unfriendly操作。

Lookup for ZK-unfriendly operations

如前面所述，每个子trace的证明是独立的，所以获得一个尽可能小的trace，会提高 prover的效率。以bitwise为例，bitwise操作包含AND, XOR, NOT三种操作。如果想通过电路单纯的实现对bitwise操作的约束，那需要做的可能是，把每个op拆成多个2进制的limbs，如果这些op是32bit位宽，那就会拆分成32个limbs。然后，你需要约束：

一文了解 Lookup Arguments

总共占用3 + 32 * 3 = 99个trace cell，约束个数为3次sumcheck + 32次bitwise = 35个。

如果这个时候有一些真值表，对于AND, XOR, NOT计算，你可以定义三个表，这些表里存的是指定位宽的op进行bitwise计算的数据，比如8bit。对于32bit的op，只需要把它们拆分成4个8bit的limbs，然后这些op的limbs之间的bitwise关系，也不用对应的约束去实现，只需要在fixed table里进行Lookup即可，此时，总共占用了 3+ 4 * 3 = 15个trace cell，约束个数为3次sumcheck + 1 次Lookup argument（支持Batch Looup）。

一文了解 Lookup Arguments

图2. Lookup in Arithmetic operations

Lookup argument不仅对bitwise操作的证明有极大的提升作用，对于rangeck操作同样。对于32bit的op，只需要把他拆分成2个16bit的limbs即可；这里有两个很好的设计，一个是会使得rangecheck占用更少的trace cells；另外一个是rangcheck的sum约束可以复用我们自定义的ADD-MUL约束。对于不同的计算类型，能够复用同一个约束，对整体的效率提升具有很大的帮助，如上图所示，对于自定义的ADD-MUL gate，它可以支持ADD,MUL,ADD-MUL,EQ,RANGECHECK五种计算类型的约束复用。