原文：《LVR: Quantifying the Cost of Providing Liquidity to Automated Market Makers》by Jason Milionis，哥伦比亚大学计算机科学博士；Cimac Moallemi，哥伦比亚商学院教授；Tim Roughgarden， a16z crypto 研究负责人，哥伦比亚大学计算机科学教授和数据科学研究所的成员；Anthony Lee Zhang，芝加哥大学布斯商学院金融学助理教授

编译：Babywhale，Foresight News

自动做市商（AMM）有两种类型的参与者：一种是交易者，他们将一种代币交易成另一种（例如， ETH 和 USDC ）；另一种是流动性提供者（LP），他们向 AMM 提供代币流动性来获取一部分交易费用。

以 LP 身份参与何时具有经济意义？收益何时超过成本？LP 的收益来自交易费用，以及在某些情况下额外的代币奖励。本篇文章总结了一种计算的新方法，我们称之为 LVR（相对损失再平衡，Loss Versus Rebalancing）。我们将在下面详细介绍 LVR 及其对 LP 和 AMM 设计的影响，但首先让我们回顾一下 AMM 在市场价格演变时的表现。

AMM 中的套利与「逆向选择」

自动做市商中的 LP 因逆向选择而可能遭受损失，这是成为 LP 的主要代价之一。由于提供流动性给以既定价格进行交易的任何一方（买入或卖出），AMM 中的每个 LP 都冒着成为有更好或更即时代币价格信息的交易者对手方的风险。例如，如果公开市场上的 ETH 价格突然上涨，快速套利者可能会从 AMM 购买 ETH（以较低的旧价格），然后在 币安 等中心化交易所转售（以新的较高市场价格）赚取利润。因为 AMM 只有两种类型的参与者，所以交易者的利润就对应着 LP 的损失。

为了推理 LP 的成本，从而为 LP 的参与决策和 AMM 设计提供信息，我们从评估过去的简单问题开始。假设我们刚刚完成向 ETH-USDC AMM 提供流动性。假设我们将 1 ETH 和 1000 USDC 存入 AMM，并在提款时收到 0.5 ETH 和 2000 USDC（在大多数 AMM 中，你得到的可能与你投入的不同，这取决于 AMM 代币的市场价格在此期间的变动情况）。进一步假设当月 ETH 价格上涨，在一个月内从 1000 美元跃升至 4000 美元。在这种情况下，提供流动性的决定将使你的资金从存款时价值 2000 美元的投资组合翻倍到提款时价值 4000 美元的投资组合。 

为 AMM 提供流动性涉及当月持有一定数量的 ETH。鉴于 ETH 的价格在本月翻了 4 倍，事后看来，几乎任何涉及持有一些 ETH 的策略看起来都相当不错。

但更重要的问题是：AMM LP 的具体策略与你「做多 ETH」的所有其他方式相比如何？同样，在撇开纯粹由 ETH 价格变化产生的利润（或损失）后，该如何看待提供流动性这个决定？

押注 ETH 价格上涨的最简单方法是购买一些 ETH 并持有它。在上文的例子中，持有策略将导致月末投资组合（仍然是 1 ETH 和 1000 USDC，但现在 ETH 价格为 4000 美元）价值 5000 美元，比从 AMM 提取的金额多 1000 美元。这 1000 美元的差距就是通常所说的「无常损失」的一个例子。

无常损失的例子

无常损失将 LP 的利润与参考策略下可能获得的利润进行了比较，但它未能隔离 AMM LP 面临的逆向选择成本。为了看到这一点，让我们改变我们的例子，使 ETH 在月初和月底的价格都是 1000 美元。在这种情况下，在大多数 AMM 中，你将获得与初始存款相同的代币组合，这意味着无常损失将为零。无论 ETH 价格在整个月内保持不变还是在回到 1000 美元之前上下浮动，结果都一样。

价格轨迹上的无常损失的独立性（除了其初始值和最终值）应该会让你觉得很可疑。例如，我们已经讨论过 AMM 的套利，即交易者以牺牲 LP 利益为代价获利。那么，LP 成本似乎应该随着 AMM 套利机会的数量而增加，而价格保持不变（无套利）与价格大幅上涨（大量套利）的机会频率应该会非常不同。

什么是 LVR

我们提出了一种新的方法来思考 AMM 的 LP 所承担的成本，其核心指标我们称为 LVR（Loss Versus Rebalancing）。LVR 可以用几种不同的方式来解释。我们在这里强调的是作为无常损失的替代方案，它的计算方法更加细致。（LVR 的另一种解释是 LP 在适当对冲其对 ETH 价格的敞口后的损失，还有一种解释是套利者可以赚取的最大利润。）

Rebalancing 是 AMM 特有的，所以让我们在 Uniswap （v1 和 v2）著名的恒定乘积做市商（CPMM）的典型特例中介绍它。双代币 CPMM，也称为「x*y=k」曲线——维护两个代币的储备，比如 x 个单位的 ETH 和 y 个单位的 USDC。现货价格被定义为 y/x，它具有使两个储备的市场价值相等的效果（从这个意义上说，这样的 AMM 有效地执行了 Rebalancing 策略）。在实践中，这个现货价格是通过只允许两个代币数量的乘积 x*y 不变的交易来定义的。

LVR 可以在逐笔交易的基础上定义，所以让我们看一下单笔交易。考虑一个有 1 个 ETH 和 1000 个 USDC 的 CPMM，假设 ETH 的市场价格突然从 1000 美元上涨到 4000 美元。我们预计一些套利者会以 2000 USDC 的有效价格从 CPMM 购买 0.5 ETH，从而保持 x*y 不变，同时将现货价格移动到 2000/0.5=4000 USDC/ETH（并使两种储备的价值为 2000 美元）。

这时参考 Rebalancing，从 1 ETH 和 1000 USDC 的相同初始投资组合开始：复制 CPMM 的交易（意味着卖出 0.5 ETH，就像 CPMM 一样），但以当前 4000 美元的市场价格执行（例如在币安上）。因为这种替代策略导致的投资组合价值比 CPMM 高 1000 美元（5000 美元对 4000 美元），我们说该交易的 LVR 为 1000 美元。

继续这个例子，假设 ETH 的价格突然回落到 1000 美元。CPMM 将立即返回其原始状态 1 ETH 和 1000 USDC（套利后），实际上就是以相同的 2000 USDC 回购 0.5 ETH。Rebalancing 策略复制交易（购买 0.5 ETH），但以市场价格（1000 美元）执行。Rebalancing 策略的投资组合价值现在比 CPMM 多 1500 美元（3500 美元对 2000 美元），第二笔交易为 LVR 贡献了额外的 500 美元。 

这个计算在直觉上是合理的，与无常损失不同，LVR 取决于价格轨迹（如果价格保持不变，LVR 为 0，但如果价格上涨然后回落则不是）并逐笔累积（因为每笔交易都可能在错误的一方，导致额外的逆向选择成本）。

LVR 的一般定义

看了前面的例子，我们对 LVR 的定义是：给定任意 AMM 上的任意交易序列，LVR 是通过 AMM 而不是在公开市场上执行交易所产生的损失总和。这个总和的每一项都是 a(p – q) 的形式，其中 a 表示交易中出售的 ETH 数量（例如，在我们上面的第一和第二笔交易中，0.5 和 -0.5），p 表示当时的市场价格（上文中的 4000 和 1000），q 表示 AMM 交易的单价（上文中的 2000 和 2000）。 

该定义也可以变化为定期（例如，每小时或每天）Rebalancing，而不是逐笔交易。这种变化可以简化 LVR 的实证分析，并且也可以让对上述 LVR 进行对冲的解释中更为自然。

对过去和未来策略的思考

LVR 隔离了 LP 承担的逆向选择成本。事后看来，提供流动性的决定是个好主意吗？首先，这个问题归结为收取的费用是否超过了 LVR，因此通常很容易使用公开数据（例如，AMM 交易的链上记录或币安上的历史价格数据）来回答。

为了推理未来而不是过去的 LP 决策，我们不能直接依赖数据，必须采用一些价格可能如何演变的数学模型（LVR 关键取决于价格轨迹）。我们可以使用各种不同的模型，但也许最自然的选择是 Black-Scholes 模型，ETH 的价格根据几何布朗方程不断演变运动。

如果你不熟悉这个模型，要知道的关键点是它基本上只有一个重要参数，即价格波动率 σ。如果 σ=0，价格保持不变，而如果 σ 很大，则说明价格波动剧烈。

LVR 可以在这个模型中精确地得到体现。因为 LVR 逐笔累积，并且因为这是一个交易一直在发生的连续时间模型，所以 LVR 可以表示为瞬时 LVR 的积分。瞬时 LVR 与 σ 和当前市场价格呈指数关系，并与 AMM 在该价格下的边际流动性呈线性关系。

这种数学表达可能听起来有点吓人，但许多常见的 AMM 都非常简单，以至于 LVR 是由一个基本的公式给出的。 

例如，对于 CPMM，瞬时 LVR，当通过 CPMM 的市场价值标准化时，结果正好是 σ²/8。如果 Uniswap v2 ETH-USDC 池的每日波动率为 5%，那么根据我们的模型，LP 每天 LVR 损失 3.125 个基点（注：一个基点为 0.01%）（每年损失大约 11%）。交易费收入能否弥补这一损失？答案取决于交易费用和交易量。例如，如果该 AMM 收取固定的 30 个基点的交易费，则 LP 将实现盈亏平衡，前提是每日交易量约为 AMM 资产的 10.4%。如果每日波动率为 10%，则所需交易量将是原来的四倍。

对 AMM 设计的启示

LVR 不仅对潜在的流动性提供者很重要，对 AMM 设计者也很重要。AMM 只有让 LP 获得足够收益才能成功，这意味着费用收入需要与 LVR 一起扩大。 

我们研究中的一个启示是，由于 LVR 取决于交易量的波动性和费用收入，AMM 应考虑随交易量、波动性或经验观察到的 LVR 调整的动态费用。第二个是 AMM 设计者应该研究最小化 LVR（以及因此所需的 LP 激励）的方法，例如通过结合高质量的喂价 预言机 来报价以获得更接近市场的价格。下一代 AMM 已经在探索这些内容以及相关的想法，我们迫不及待地想看看它们会如何发挥作用。