感谢 Felix Cai 对 MACI 和隐私投票中多个问题的讨论。
这篇文章将展示基于 2-of-2 MPC 技术的 MACI 匿名化方案的具体实现。本文核心内容主要分为三个部分：从任意算法到逻辑电路的实现；从逻辑电路到混淆电路的实现；利用不经意传输实现多方安全计算。最后，我们总结基于多方安全计算的匿名化方案。
算法
在 MACI 系统中，操作员 Operator（记为O）管理着一个数组，这个数组记为 deactivate[]，其元素个数与 registry 数组中的元素个数相同。数组中每个位置的编号代表了 key 值（用户的编号），而每个位置存储着对应的公钥。为了更好地理解 deactivate[] 数组，可参考如下例子：在 deactivate[] 数组中，假设 registry 中的用户1（deactivate[] 数组中的第一个元素）发起了 deactivate key 操作，操作员O收到该操作请求后，如果操作的合法性被O承认，O在 deactivate[] 数组中的第一个位置填入 registry 数组中第一个位置所包含的 value 值（用户2的公钥）。另外，假设用户O没有发起 deactivate key 操作，那么 deactivate[] 数组中的第二个元素的值为 0。这样一来, deactivate[] 数组的元素个数和 registry 数组中的元素个数相同就可以理解了。
现在，为了实现 MACI 系统对管理员的匿名性，需要设计一个 2-of-2 的 MPC 方案来实现以下两个性质:
先暂且不考虑这两个要实现的目标。先考虑更换密钥的操作: A发起更换 deactivate[] 数组中属于A的公钥的请求，O验证A的请求是否合法，如果合法，则执行更换公钥操作；否则，拒绝请求。
根据上述逻辑，我们先设计一份伪代码来实现这个操作，如下:
逻辑电路的生成原理
为了简单起见，暂且假设一个公钥由二位二进制数来表示（实际的公钥是 256 位二进制数）。那么，现在就需要用用户A的输入公钥，对比 deactivate[] 数组中的二把公钥。因此，需要对比二次。
逻辑电路由逻辑门组成，逻辑电路中的逻辑门被分为 层，比如上面的电路是两层。逻辑门第一层需要用户来添加输入, 其他层是中间节点，最后是根节点。对于用户输入的逻辑门，有两个输入和一个输出。其中一个输入由用户A完成。另外一个由O完成。这三个逻辑门组成了一个子逻辑电路。这个子逻辑电路负责一次公钥的对比。
逻辑电路的生成工具
在现实中，为了让一个固定的算法转换成逻辑电路，需要用到一些工具，如
1.Verilog HDL 和 VHDL：这两种硬件描述语言被广泛用于数字电路的设计和仿真，可以使用它们来描述算法的行为，并将其转换为逻辑电路的形式。这些语言都支持从高级语言（如C、C++ 和 Java）转换为硬件描述语言的形式。使用 Verilog 或 VHDL 需要一定的硬件设计和编程经验。
2.Xilinx Vivado Design Suite：这是一款商业软件，用于 FPGA（现场可编程门阵列）的设计和开发。它提供了一个综合工具，可以将高级语言或 RTL（寄存器传输级）代码转换为逻辑电路的形式。它支持多种编程语言，包括 C、C++、SystemC、Verilog 和 VHDL 等。
3.Yosys：这是一款开源的 EDA（电子设计自动化）工具，用于数字电路的设计和仿真。它支持从 Verilog 和 VHDL 等硬件描述语言转换为逻辑电路的形式。它也支持从高级语言（如 C、C++ 和 Python）转换为 RTL 代码，然后转换为逻辑电路的形式。
混淆电路（Garbled Circuit）
逻辑门的加密（混淆）
回到现在的例子中，因为我们的公钥在 deactivate[] 数组中都是有序号的（序号等价于用户的编号），且数组 deactivate[] 中的最大元素个数是有上限的（用户的个数）。因此，假设最大元素个数是N，那么，就需要构建N个子电路，然后合成一个最终的逻辑电路。
由于逻辑电路在每一个 epoch 中（一个 epoch 是区块链更新 registry 中元素的一个周期）是固定的，那么，所有用户都可以使用这个早已经生成好的，并存储在区块链中的逻辑电路。在本文例子中，由于 deactivate[] 数组中只有两个元素，因此子电路只有两个（每个子电路对应于一次公钥的对比）。
注：在一个 epoch 中，registry 数组中元素个数是固定的，因此用户的输入和数组中的元素的对比次数是固定的，因此逻辑子电路的个数是确定的，且逻辑子电路是事先可以确定好的，因此整个逻辑电路是唯一确定的。
接下来，就是将逻辑电路的每一个输入进行加密，然后将每一个逻辑门进行混淆。
先考虑加密。加密这个动作是由用户A完成的。他对每一个输入和输出的 0 和 1 用加密值表示。注意，最终的根逻辑门的输出不需要进行加密，在本案例中，就是 0（对比失败），和 1（更换新的公钥）。如图所示：
逻辑电路中的每一条引线的 0 和 1 都用加密值代替。同时，每一个逻辑电路都有一个固定的编号（这个是所有人都已知的）。例如，编号 1、2、5 就构成了一个子电路 1（比较用户的公钥和数组中的第一把公钥）。
基于此，将逻辑电路的每一个逻辑门的输入和输出（除了根逻辑门）进行加密后，在 Operator 的视角里，对于加密后的逻辑电路，他就不知道每个逻辑门的输入数字（加密值）对应的明文（是 0 还是 1）。
输入加密的方法
在混淆电路中，为每个输入值生成两个随机 key 的过程通常是使用伪随机数生成器（PRNG）来实现的。常用的生成随机 key 的实现和库有很多，例如 OpenSSL、Crypto++、libsodium 等。
输出加密的方法
基于伪随机函数 PRF 的方法是 Yao 的混淆电路中实现对输出二进制数 0 和 1 的加密的主要方法之一。具体来说，这种方法可以实现对每个逻辑门的输出进行加密，保证了数据的机密性和可靠性。
在基于 PRF 的方法中，每个逻辑门的输出都被混淆成为一组包含多个 label 的二元组，其中每个 label 都是一个随机的 01 字符串。在生成每个 label 时，可以使用伪随机函数（PRF）来实现。具体来说，可以使用一个密钥和输入值（如 0 或 1）作为 PRF 的输入，然后得到一个随机的 01 字符串作为 label。由于 PRF 是一种可以模拟真正随机数的算法，因此生成的 label 具有高度的随机性和不可预测性，保证了数据的机密性和安全性。
在混淆输出时，可以将每个逻辑门的输出表示为一个包含两个 label 的二元组（如 {label0, label1}）。其中，当输入为 0 时，使用 label0 作为输出；当输入为 1 时，使用 label1 作为输出。在将逻辑门的输出发送给下一个参与方时，只发送一个包含正确 label 的二元组，保证了数据的机密性和保密性。常见的 PRF 包括 HMAC、SHA、AES 等。
需要注意的是，对逻辑门的输出采用上述方法的目的是为了便于不经意传输（oblivious transfer）的实现。
这里其实就可以推导不经意传输过程了。比如，用户 A 将这四个输出——
用户 A 输入的生成
现在，我们继续假设，用户A公钥的编号是 1，数值是 10，而数组中的二把公钥（编号分别为 0、1）的数值分别是 11, 10。也就是说用户A的公钥在数组中。
接着，用户将自己的输入，分别输入到两个子电路中（sub-circuit 1 和 2）。用户在第一个逻辑子电路（1、2、5）中进行输入。他的输入是：在编号为 1 的逻辑门输入 2674（代表二进制数 1）；在编号为 2 的逻辑门输入 8798（代表二进制数 0）。用户在第二个逻辑子电路（3、4、6）中进行输入。那么，他的输入是：在编号为 3 的逻辑门中输入 9809（代表二进制数 1）；在编号为 4 的逻辑门中输入 3453（代表二进制数 0）。
电路混淆
接下来的步骤就是将逻辑电路进行混淆。
这样一来，根据这个表格的排序可能性，O想通过表三还原成真正的表一，会碰到 4 种可能性。那么，如果在一次证明中涉及到N个逻辑门，每个逻辑门用户A都做上述操作，那么就有4N种可能性。这样，通过排序任意颠倒，使得O很难推断出每个数字到底代表 0 还是 1。
第一次通信
不经意传输（Oblivious Transfer）
此时，我们需要回顾两个一定要保证的性质：
上述三个步骤，满足了第二个性质，但是没有满足第一个性质，也就是说，O在解密了其中一个加密值后，得到了明文 1，但是，也暴露了另一个明文 0。这样一来，混淆逻辑门表就暴露了很多信息给O，这样让O有机会破解A的秘密，从而使得性质 1 无效。
从对一个逻辑门的 OT 通信可以看出整个 OT 通信的全貌，即每个逻辑门的 OT 通信都是如此，且在一次 OT 通信过程中全部完成。这样，O就能得到所有叶子逻辑门的输出，这样他就能进一步得到分支逻辑门的输出，从而最终得到根逻辑门的输出。
方案改进
上述方案中，需要且可以改进的地方有很多。例如，改进算法设计，降低算法的复杂度；改进逻辑电路的设计，让逻辑电路变得更加简单（减少门的个数，减少通信是需要传递的信息）；增加方案的安全性，加大破解方案的计算复杂度；让交互变成非交互。
算法和逻辑电路的改进
但是，如果采用 Merkle Patricia Tree 的数据结构的话，对比的次数要少很多（这是因为对于 256 位的公钥来说，形成的 MPT 一定是稀疏的，因此，可能筛选二到三轮就可以筛选出想要的值）。那么，一旦算法计算复杂度下降了，逻辑电路的设计也就要简单很多。
逻辑电路的设计也有化简的可能性。
A的每个输入都不同，O也是。实际上，可以进行化简。变成如下图所示。
这样的化简可以让输入变少。
增加安全性
如果O想输入的是 0，那么他得到的结果必然是 0，也就是说，他天然知道输出 0 的加密值，那么他就天然知道了 1 的加密值。同时，由于A的输入已经是确定的，那么他可以根据A的输入值，和1的输出的加密值所在的行，去分析，如果 1 的输出的加密值所在的行，不包含A的输入加密值，那么A的输入就是 0，否则就是 1。
为了解决这类问题，我们需要对输出全部进行加密。比如使用该种方法：上表中的四个输出值 0、0、0、1 分别加密为——
——这样一来，输出的四个值分别对应为四个不同的密文。因此，在此环境下， 无法通过上述推断来反推出A的输入值是 0 还是 1。但是，这种方法使得输出加密值的个数从二变成了四。通信复杂度会增大。
此外，非交互式的不经意传输协议也值得研究。
总结
上述方法首先不考虑需要实现 MACI 匿名化的两个目标，即在明文下设计一个算法，让O能够正确判断是否执行用户A的请求。基于此，再将所设计的算法转化成逻辑电路。再将逻辑电路转化成混淆电路。需要注意的是，逻辑电路在每一个区块链的 epoch 中是固定的且能够从区块链中直接获取的。用户A获取该 epoch 的逻辑电路，利用相应工具将逻辑电路转化成混淆电路。同时，用户A将每一个混淆电路的输入进行加密，并将加密好的信息发送给O。此时，O由于不知道加密后的输入对应的明文是什么，O也就不知道用户A具体的输入是什么了，这样就实现了匿名化的第一个性质。
进而，使用不经意传输是实现第二个目的的方法。通过不经意传输，用户A并不知道O具体采用了哪些加密值进行进一步的输入，因此用户A无法推断出 deactivate[] 数组中的其他元素信息。同时，由于O通过不经意传输获得了足够的有效输入，因此O将这些有效输入输入到被加密的混淆电路中，最终能够得到正确的输出，该输出和明文下执行第一节的算法所得到的输出是相同的。因此，O就能够根据输出来判断是否要执行用户A的请求。
最终，O将上述所有操作利用零知识证明生成操作的 proof。区块链对 proof 进行验证，验证通过后，区块链将根据 deactivate[] 数组中的元素和 registry 数组中的元素来更新 registry 数组并结束 epoch 和开启下一个 epoch。
